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    二次函数y=ax²-6ax+c（a＞0）的图像抛物线过点C（0,4），设抛物线的顶点为D。

    （1）若抛物线经过点（1，-6），求二次函数的解析式；

    （2）若a=1时，试判断抛物线与x轴交点的个数；

    （3）如图所示A、B是⊙P上两点，AB=8，AP=5。且抛物线过点A(x1,y1),B(x2,y2),并有AD=BD。设⊙P上一动点E（不与A、B重合），且∠AEB为锐角，若＜a≤1时，请判断∠AEB与∠ADB的大小关系，并说明理由。

     

    【答案】

    (1) ；（2）当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

    【解析】

    试题分析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，可求a、c的值，即可确定函数解析式；

    （2）若 a=1时，计算出△的值，即可判断抛物线与x轴交点的个数；

    （3）由二次函数方程算出对称轴为x=3，顶点D为（3，4-9a）。因为AD=BD，所以⊿ADB是等腰三角形且对称轴垂直平分AB。因为AB=8，所以A,B的横坐标分别为-1和7，纵坐标同为4+7a，所以⊿ADB的高就是A（或B）与D的纵坐标之差16a.因为∠AEB为锐角，所以E点在线段AB的下方（在上方则是钝角），由于弧AB所对的圆周角都相等，不妨就让△AEB为一个等腰三角形，即E的横坐标为3.过E做AB的垂线，必过圆心P，所以△AEB的高为8.

    所以，比较16a和8的大小就行。当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

    试题解析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，得：

    ，解得：

    所以二次函数的解析式为：.

    （2）当a=1时，；

    △=（-6）2-4c=36-4c

    （i）当36-4c＞0，即c＜9时，抛物线与x轴交点的个数有2个；

    （ii）当36-4c=0，即c=9时，抛物线与x轴交点的个数有1个；

    （iii）36-4c＜0，即c＞9时，抛物线与x轴没有交点；

    （3）当0＜a＜0.5时，∠AEB ＜∠ADB ；当a=0.5时，∠AEB =∠ADB ；当0.5＜a≤1时，∠AEB ＞∠ADB.

    考点: 二次函数综合题.

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•松北区一模）已知矩形ABCD的周长为12，E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y．
    （1）请直接写出y与x的函数关系式；
    （2）根据（1）中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．
    （参考公式：当x=-
    b
    2a
    时，二次函数y=ax+bx+c（a≠0）有最小（大）值
    4ac-b2
    4a
    ）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图,已知二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于点A．B,与y轴交于点 C．

    (1)写出A． B．C三点的坐标;(2)求出二次函数的解析式.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （本题10分）问题情境

    已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？

    数学模型

    设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为                       ．

    探索研究

    ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．

    ①填写下表，画出函数的图象：

    x

    ……

    1

    2

    3

    4

    ……

    y

    ……

     

     

     

     

     

     

     

    ……

     

     

     

    2
     
    ②观察图象，试描述该函数的增减性(y随x变化发生什么变化）；

    ③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过

    配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．

    解决问题

    ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

     

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    科目：初中数学 来源：2011-2012年浙江省衢州华外九年级上学期第二次质量检测数学卷 题型：解答题

    （本题10分）问题情境


    已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
    数学模型
    设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为                       ．
    探索研究
    ⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质．
    ①填写下表，画出函数的图象：

    x
    		……



    		1
    		2
    		3
    		4
    		……
    y
    		……
    		 
    		 
    		 
    		 
    		 
    		 
    		 
    		……
     

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    ②观察图象，试描述该函数的增减性(y随x变化发生什么变化）；

    ③在求二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过
    配方得到．请你通过配方求函数(x＞0)的最小值．
    解决问题
    ⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．

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    科目：初中数学 来源：2013届黑龙江省哈尔滨市松北区九年级升学调研测试（一）数学试卷（带解析） 题型：解答题

    已知矩形ABCD的周长为12，E、F、G、H为矩形ABCD的各边中点，若AB=x，四边形EFGH的面积为y．

    （1）请直接写出y与x的函数关系式；
    （2）根据(1)中的函数关系式,计算当x为何值时，y最大，并求出最大值.
    （参考公式：当x=-时，二次函数y=ax+bx+c(a≠o)有最小(大)值）

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