Question

如图，正方形ABCD和正方形CEFG各有两个顶点在坐标轴上，其中A（0，1），B（2，0），E、F两点同在x轴上，双曲线y=（k＞0）经过边AD的中点P和边CE的一点Q．
（1）求该双曲线所表示的函数关系式；
（2）探索点Q是否恰为CE的中点？请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点P作PH⊥y轴于H．∵正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB=AD=BC．
∵A（0，1），B（2，0），
∴OA=1，OB=2，
∵P为AD的中点，
∴AP：AB=1：2，
∵∠DAB=∠AOB=90°，
∵∠PAH+∠OAB=9=∠ABO=∠OAB，
∴∠PAH=∠ABO，
∴△ABO∽△PAH，
∴==，
∴HA=1，HP=，
∴点P坐标为（，2），
∴代入y=，得k=1，
∴该双曲线所表示的函数关系式为y=；

（2）∵AB=BC，∠AOB=∠BEC=90°，
∵∠ABO+∠CBE=∠BCE+∠CBE，
∴∠ABO+∠BCE．
∴BE=AO=1，CE=AB=2，
若点Q为CE的中点，则点Q的坐标为（3，1），
当x=3时，代入y=得函数值y=≠1，
∴点Q不是CE的中点．
分析：（1）过点P作PH⊥y轴于H，判断出△ABO∽△PAH，根据相似三角形的性质求出HA=1，HP=，判断出P点坐标，代入解析式求出k的值；
（2）易得BE=AO=1，CE=AB=2，若点Q为CE的中点，则点Q的坐标为（3，1），当x=3时，代入y=得函数值y=≠1，可得点Q不是CE的中点．
点评：本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式及正方形的性质，综合性很强，要注意利用题目所给条件．