Question

12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弦ED=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E，求证：
（Ⅰ）∠ECB=∠BAD；
（Ⅱ）BE是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由四边形ABCD为圆的内角四边形，得到四边形外角等于它的内对角，得证；
（Ⅱ）连接OB，OD，利用SSS得到三角形ABO与三角形DBO全等，利用全等三角形对应角相等得到∠DBO=∠ABO，进而确定出一对内错角相等，得到OB与ED平行，由BE与ED垂直，得到EB与BO垂直，即可得证．

解答 （Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ECB=∠BAD；
（Ⅱ）证明：连结OB，OD，
在△ABO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{BO=BO}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．

点评 此题考查了切线的判定，以及圆内接四边形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．