Question

如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．
（1）求A、B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线的解析式y=3x+3，当x=0和y=0时就可以求出点A、B的坐标．
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，根据A、B、C三点的坐标利用待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（3）将抛物线化为顶点式，求出对称轴对称轴，设出Q点的坐标，利用等腰三角形的性质，根据两点间的距离公式就可以求出Q点的坐标．

解答：解：（1）∵y=3x+3，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3）．

（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题意，得

0=a-b+c 3=c 0=9a+3b+c

，
解得

a=-1 b=2 c=3

∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3

（3）∵y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4
∴抛物线的对称轴为x=1，设Q（1，a），
（1）当AQ=BQ时，如图，
由勾股定理可得
BQ=

BF2+QF2

=

(1-0)2+(3-a)2

，
AQ=

AD2+QD2

=

22+a2

得

(1-0)2+(3-a)2

=

22+a2

，解得
a=1，
∴Q（1，1）；
（2）如图：
当AB是腰时，Q是对称轴与x轴交点时，AB=BQ，
∴

(1-0)2+(a-3)2

=

10

解得：a=0或6，
当Q点的坐标为（1，6）时，其在直线AB上，A、B和Q三点共线，舍去，
则此时Q的坐标是（1，0）；
（3）当AQ=AB时，如图：

22+a2

=

10

，解得a=±

6

，则Q的坐标是（1，

6

）和（1，-

6

）．
综上所述：Q（1，1），（1，0），（1，

6

），（1，-

6

）．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质及判定，两点间的距离公式的运用．