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精英家教网已知如图:△ABC内接于⊙O,P为BC边延长线上的一点,PA为⊙O的切线,切点为A,若PA=6,PC=4,求
sinBsinACB
的值.
分析:由于∠B、∠ABC都不在直角三角形中,因此需要通过作辅助线来达到这个目的.过A作⊙O的直径AD,连接BD、CD,那么∠ADB=∠ACB、∠ADC=∠B,在Rt△ABD和Rt△ACD中,可得到sinB=AC:AD,sinACB=AB:AD;因此只需求得AB:AC的值即可,分析图形,可通过证△PAB∽△PCA来求得这个比值.
解答:精英家教网解:∵PA是⊙O的切线,
∴PA2=PC•PB,
∵PA=6,PC=4,
∴PB=9;
由弦切角定理知:∠PAC=∠ABC,
又∵∠APC=∠BPA,
∴△PAC∽△PBA,
AB
AC
=
PB
PA
=
3
2

过A作⊙O的直径AD,连接BD、CD;
则有:∠ADB=∠ACB,∠ABC=∠ADC;
在Rt△ABD中,sinADB=sinACB=AB:AD,
同理得:sinADC=sinABC=AC:AD;
sinB
sinACB
=
AC
AB
=
2
3
点评:此题主要考查了圆周角定理、切线的性质、弦切角和切割线定理以及相似三角形的判定和性质;能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中,是解答此题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知如图,△ABC内切⊙O于D、E、F三点,内切圆⊙O的半径为1,∠C=60°,AB=5,则△ABC的周长为(  )
A、12
B、14
C、10+2
3
D、10+
3

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC=13,BC=24,PABC,割线PBD过圆心,交⊙O于另一个点D,联结CD

1.⑴求证:PA是⊙O的切线;

2.⑵求⊙O的半径及CD的长.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC=13,BC=24,PABC,割线PBD过圆心,交⊙O于另一个点D,联结CD

【小题1】⑴求证:PA是⊙O的切线;
【小题2】⑵求⊙O的半径及CD的长.

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科目:初中数学 来源:2011-2012年北京大兴区九年级第一学期期末考试数学卷 题型:解答题

已知:如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC=13,BC=24,PABC,割线PBD过圆心,交⊙O于另一个点D,联结CD

1.⑴求证:PA是⊙O的切线;

2.⑵求⊙O的半径及CD的长.

 

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