Question

18．已知：AB为⊙O的直径，BE为⊙O的切线，点D为⊙O上一点，连接，ED并延长交⊙O于点C，交AB于点G，连接BD．
（1）如图1，求证∠DBE=∠C；
（2）如图2，若点C为弧AB的中点，过点G作CD的垂线GF，且GF=GC，连接FA．求证：∠A=45°
（3）如图3，在（2）的条件下，连接FB，AC，若OG=2，$\frac{{S}_{△BGF}+{S}_{△BCG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{3}{5}$，求线段BD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接DA．首先证明∠DBE=∠A，由∠A=∠C，即可证明．
（2）如图2中，作FH⊥AB于H，连接OC．只要证明△FGH≌△GCO，得到FH=OG，GH=OC=OA，推出AH=OG=FH即可解决问题．
（3）如图3中，作BH⊥CD于H，OM⊥CD于M，BK⊥FG交FG的延长线于K．首先证明四边形BHGK是矩形，推出BK=HG，由S_△BGF=$\frac{1}{2}$•FG•BK=$\frac{1}{2}$•GC•GH，S_△BCG=$\frac{1}{2}$•CG•BH，S_△CFG=$\frac{1}{2}$GC²，$\frac{{S}_{△BGF}+{S}_{△BCG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{HG+BH}{GC}$，再证明BH=DH，推出GH+BH=HG+DH=DG=$\frac{3}{5}$GC，设GC=5x，则DG=3x，DC=8x，MC=$\frac{1}{2}$DC=4x，GM=GC-MC=5x-4x=x，设⊙O的半径为r，则AB=2r，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$r，由△CBG∽△CDB，得BC²=CG•CD=5x•8x=40x²，推出r=2$\sqrt{5}$x，由△DGB∽△AGC，得BG•AG=DG•CG，得到（2$\sqrt{5}$x-2）（2$\sqrt{5}$x+2）（2$\sqrt{5}$x+2）=3x•5x，求得x=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，r=2$\sqrt{5}$•$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=4，推出OM=$\sqrt{O{G}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{5}\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，再证明△BHG≌△OMG，推出BH=OM=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接DA．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵EB是切线，
∴EB⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠DBE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠A，
∵∠A=∠C，
∴∠DBE=∠C．

（2）证明：如图2中，作FH⊥AB于H，连接OC．

∵$\widehat{AC}$=$\widehat{CB}$，
∴OC⊥AB，
∴∠FGC=∠GOC=∠FHG=90°，
∴∠FGH+∠OGC=90°，∠OGC+∠OCG=90°，
∴∠FGH=∠OCG，
在△FGH和△GOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FGH=∠GCO}\\{∠FHG=∠GOC}\\{FG=CG}\end{array}\right.$，
∴△FGH≌△GCO，
∴FH=OG，GH=OC=OA，
∴AH=OG=FH，
∴∠A=∠AFH=45°．

（3）解：如图3中，作BH⊥CD于H，OM⊥CD于M，BK⊥FG交FG的延长线于K．

∵∠BHG=∠HGK=∠BKG=90°，
∴四边形BHGK是矩形，
∴BK=HG，
∴S_△BGF=$\frac{1}{2}$•FG•BK=$\frac{1}{2}$•GC•GH，S_△BCG=$\frac{1}{2}$•CG•BH，S_△CFG=$\frac{1}{2}$GC²，
∴$\frac{{S}_{△BGF}+{S}_{△BCG}}{{S}_{△CFG}}$=$\frac{3}{5}$=$\frac{HG+BH}{GC}$，
∵∠BDC=∠BAC=45°，BH⊥DC，
∴BH=DH，
∴GH+BH=HG+DH=DG=$\frac{3}{5}$GC，设GC=5x，则DG=3x，DC=8x，MC=$\frac{1}{2}$DC=4x，GM=GC-MC=5x-4x=x，
设⊙O的半径为r，则AB=2r，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{2}$r，
由△CBG∽△CDB，得BC²=CG•CD=5x•8x=40x²，
∴2r²=40x²，
∴r²=20x²，
∴r=2$\sqrt{5}$x，
由△DGB∽△AGC，得BG•AG=DG•CG，
∴（2$\sqrt{5}$x-2）（2$\sqrt{5}$x+2）（2$\sqrt{5}$x+2）=3x•5x，
解得x=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$（负根已经舍弃），r=2$\sqrt{5}$•$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=4，
∴OM=$\sqrt{O{G}^{2}-G{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2}{5}\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴BG=OB-OG=4-2=2=OG，∵∠OGM=∠BGH，∠OMG=∠BHG=90°，
∴△BHG≌△OMG，
∴BH=OM=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
∴BD=$\sqrt{2}$BH=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理、切线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．