Question

已知：直线L：y=kx+b（k≠3），抛物线Q：y=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

．直线L与y轴交于点M（0，k）．
（1）试证直线L总与抛物线Q有两个交点；
（2）若直线L与抛物线Q的两个交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y轴的距离相等，试求L的解析式．

Answer 1

分析：（1）由直线L：y=kx+b（k≠3）与y轴交于点M（0，k），即可求得B=K，又由若直线L与抛物线Q有交点，可得kx+k=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

，然后可根据判别式求得△＞0，注意k≠3，则可证得直线L总与抛物线Q有两个交点；
（2）由直线L与抛物线Q的两个交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y轴的距离相等，即可得x₁+x₂=0，又由根与系数的关系，可得方程x₁+x₂=-

4k-6

3

=0，解此方程组即可求得k的值，继而求得L的解析式．

解答：解：（1）∵直线L：y=kx+b（k≠3）与y轴交于点M（0，k），
∴b=k，
即直线L的解析式为：y=kx+k，
∴直线L与抛物线Q的交点的横坐标相等，即：kx+k=-

3

4

x²+

3

2

x+

9

4

，
整理得：3x²+（4k-6）x+（4k-9）=0，
∴△=（4k-6）²-12（4k-9）=（4k-6）²-12（4k-6）+36=（4k-6-6）²=（4k-12）²，
∵k≠3，
∴4k-12≠0，
∴△＞0，
∴直线L总与抛物线Q有两个交点；

（2）∵直线L与抛物线Q的两个交点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）到y轴的距离相等，
∴x₁+x₂=0，
∵x₁+x₂=-

4k-6

3

=0，
解得：k=

3

2

，
∴L的解析式为：y=

3

2

x+

3

2

．

点评：此题考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程的判别式与根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意方程思想的应用．