Question

9．某衬衫厂生产某品牌衬衫的成本价为50元/件，批发价y元/件与一次性批发件数x件之间的关系满足图中折线的函数关系，批发件数为10的正整数倍．
（1）直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）若某商户一次批发件数不超过400件，求此商户一次批发多少件时，衬衫厂获利最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 （1）根据函数图象和函数图象中的数据可以求得各段对应的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）根据题意和分类讨论的数学思想可以求得一次批发件数不超过400件时的最大利润．

解答 解：（1）当10≤x≤100且x为10的正整数倍时，y=90，
当100＜x≤400且x为10的正整数倍时，设y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{100k+b=90}\\{400k+b=60}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=100}\end{array}\right.$，
即当100＜x≤400且x为10的正整数倍时，y=$-\frac{1}{10}x+100$，
当x＞400且x为10的正整数倍时，y=60；
（2）设衬衫厂获利为w元，
当10≤x≤100且x为10的正整数倍时，w=（90-50）x=40x，
∴当x=100时，w取得最大值，此时w=4000，
当100＜x≤400且x为10的正整数倍时，w=x（y-50）=x（$-\frac{1}{10}x+100$-50）=$-\frac{1}{10}（x-250）^{2}+6250$，
∴当x=250时，w取得最大值，此时w=6250，
由上可得，若某商户一次批发件数不超过400件，此商户一次批发250件时，衬衫厂获利最大，最大利润是6250元．

点评 本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想和二次函数的性质解答问题．