Question

（在下面的（I）（II）两题中选做一题，若两题都做，按第（I）题评分）
（I）如图，在△ABC中，AB=4，BC=3，∠B=90°，点D在AB上运动，但与A、B不重合，过B、C、D三点的圆交AC于E，连接DE．
（1）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（2）当AD长为关于x的方程2x²+（4m+1）x+2m=0的一个整数根时，求m的值．

（II）如图，在直角坐标系xOy中，以点A（0，-3）为圆心作圆与x轴相切，⊙B与⊙A外切干点P，B点在x轴正半轴上，过P点作两圆的公切线DP交y轴于D，交x轴于C，
（1）设⊙A的半径为r₁，⊙B的半径为r₂，且r₂=

2

3

r₁，求公切线DP的长及直线DP的函数解析式，
（2）若⊙A的位置、大小不变，点B在X轴正半轴上移动，⊙B与⊙A始终外切．过D作⊙B的切线DE，E为切点．当DE=4时，B点在什么位置？从解答中能发现什么？

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）可先在直角三角形ABC中，求出AC的长，然后根据相似三角形ADE和ABC，得出关于AE，AB，AD，AC的比例关系式，用x表示出AE，然后根据AE+EC=AC即可得出关于x，y的函数关系式；
（2）观察方程，可先用十字相乘法解方程，用m表示出方程的根，然后根据方程的根为整数，来判断m的取值．

（Ⅱ）（1）由于三角形ADP和ABO全等（一个公共角，一组直角，AO=AP），因此要求DP的长，就是求出OB的长，已知了A的坐标，也就知道了⊙A的半径长，根据⊙A，⊙B的半径的比例关系即可求出BP的长，那么就知道了AB的长，可在直角三角形AOB中得出OB的值，也就求出了DP的长．求DP所在的直线的解析式，就要知道D，C两点的坐标，关键是求OD，OC，因为三角形ADP和ABO全等，那么求出了AB的长，也就知道了AD的长，根据OD=AD-OA，即可得出D的坐标，根据相似△DOC和△BOA，可求出OC的长，那么知道了D，C的坐标后，可用待定系数法求出DP所在直线的解析式；
（2）很显然，四边形OBED是矩形，由此可以求出B点的坐标应该是（0，4）．

解答：（Ⅰ）解：（1）在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵四边形DBCE为圆的内接四边形，
∴∠AED=∠B，又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AE：AB=AD：AC，
∴AE=

AB•AD

AC

=

4

5

x，
由CE=AC-AE得y=5-

4

5

x=-

4

5

x+5，
∵点D在AB上运动，且与A，B不重合，AB=4，
∴自变量x的取值范围是0＜x＜4；

（2）∵2x²+（4m+1）x+2m=0，
∴（x+2m）（2x+1）=0，
∴x=-2m，x=-

1

2

，
∵x=-

1

2

是分数．
∴整数根为-2m，即AD=-2m，
∵0＜x＜4，即0＜AD＜4，
∴满足0＜AD＜4的正数为1，2，3，
当AD=-2m=1时，m=-

1

2

；
当AD=-2m=2时，m=-1；
当AD=-2m=3时，m=-

3

2

．
∵方程2x²+（4m+1）x+2m的判别式为△=（4m+1）²-16m=（4m-1）²，
对任何实数m恒有（4m-1）2≥0，
∴所求的值为-

1

2

，-1和-

3

2

．

（Ⅱ）解：（1）∵A（0，-3），
∴AO=AP=3，
又r₂=

2

3

r₁，即BP=

2

3

AP=2，
∴AB=5，
∴BO=4．
又Rt△AOB∽Rt△CPB，得：

AB

BC

=

BO

BP

，
∴BC=

AB•BP

BO

=

5

2

，OC=4-

5

2

=

3

2

．
∴点C的坐标是C（

3

2

，0）
∵Rt△APD≌Rt△AOB，
∴AD=AB=5，PD=BO=4
设点PD的解析式为y=kx+b，则有：

b=2 3 2 k+b=0

，
得k=-

4

3

，b=2，
∴直线PD的解析式是y=-

4

3

x+2；

（2）点B的坐标为（4，0），
可以看出，四边形OBED是矩形．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及圆与圆的位置关系等知识点，也考查了利用待定系数法确定函数的解析式，综合性比较强．