Question

12．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=2，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，得出∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，再由已知条件和邻补角关系求出∠AFD=∠C，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AD=AB=BC=2，由勾股定理求出AE、DE，再由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出AF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=2，
∵AE⊥BC，E为BC中点，
∴AE⊥AD，BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∴∠DAE=90°，AE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AF}{CD}=\frac{AD}{DE}$，
即$\frac{AF}{2}=\frac{2}{\sqrt{7}}$，
解得：AF=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．