Question

如图，在⊙O的内接△ABC中，AB+AC=12，AD⊥BC于D，且AD=3，当AB=6时，⊙O的面积最大，最大面积是

 

．

Answer 1

分析：由题意知，需作出圆的直径AE，利用直径所对的圆周角是直角，得出△ABD∽△AEC．根据相似三角形的性质得到边之间的对应比相等，建立函数关系式；
根据二次函数的最值的求法，结合函数关系式进行求解．

解答：解：作直径AE，连接CE，如图所示，则∠ACE=90°，
∵AD⊥BC，∴∠ACE=∠ADB=90度．
又∠B=∠E，
∴△ABD∽△AEC
∴设⊙O的半径为y，AB的长为x．∴

AB

AD

=

AE

AC

，即

x

3

=

2y

12-x

．
整理得y=-

1

6

（x-6）²+6．
∴y=-

1

6

（x-6）²+6，则当x=6时，y取得最大值，最大值为6．
∴⊙O的最大面积为36π．
故答案为36π．

点评：此题主要考查三角形相似及二次函数最大值的求法．题目难度较大．