Question

如图，长方形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．
（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE=4时，求AF的长
（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG=10时，
①求证：EF=EG．②求AF的长．
（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG=10时，求AF的长．

Answer 1

分析：（1）根据翻折的性质可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①根据翻折的性质可得∠BGF=∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF=∠EFG，从而得到∠EGF=∠EFG，再根据等角对等边证明即可；
②根据翻折的性质可得EG=BG，HE=AB，FH=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF=EF，
∵AB=8，
∴EF=8-AF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即4²+AF²=（8-AF）²，
解得AF=3；

（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF=∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG；

②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，FH=AF，
∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，FH=

EF2-HE2

=

102-82

=6，
∴AF=FH=6；

（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，
∵E到AD的距离为2cm，
∴EM=2，EN=8-2=6，
在Rt△ENG中，GN=

EG2-EN2

=

102-62

=8，
∵∠GEN+∠KEM=180°-∠GEH=180°-90°=90°，
∠GEN+∠NGE=180°-90°=90°，
∴∠KEM=∠NGE，
又∵∠ENG=∠KME=90°，
∴△GEN∽△EKM，
∴

EK

EG

=

KM

EN

=

EM

GN

，
即

EK

10

=

KM

6

=

2

8

，
解得EK=

5

2

，KM=

3

2

，
∴KH=EH-EK=8-

5

2

=

11

2

，
∵∠FKH=∠EKM，∠H=∠EMK=90°，
∴△FKH∽△EKM，
∴

FH

EM

=

KH

KM

，
即

FH

2

=

11 2

3 2

，
解得FH=

22

3

，
∴AF=FH=

22

3

．

点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键，本题难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形．