Question

8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．（结果保留根号和π）

Answer 1

分析 连接OD，如图，先利用切线的性质得OD⊥AC，再计算出∠C=30°，接着利用解直角三角形得到∠COD=60°，OC=2OD=4，CD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，然后利用扇形面积公式，利用阴影部分的面积=S_△ODC-S_扇形DOE进行计算即可．

解答 解：连接OD，如图，
∵以BE为直径的⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵∠ABC=90°，∠A=60°，
∴∠C=30°，
在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=2OD=4，CD=$\sqrt{3}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=S_△ODC-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．
故答案为2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了不规则图形面积的计算方法．