Question

如图，直角坐标系内的梯形AOBC（O为原点）中AC∥OB，AO⊥OB，AC=1，OA=2，OB=5．
（1）求经过O，C，B三点的抛物线的解析式；
（2）延长AC交抛物线于点D，求线段CD的长；
（3）在（2）的条件下，动点P、Q分别从O、D同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点P沿OB由O向B运动，点Q沿DC由D由C运动（其中一个点运动到终点后，另一个点运动也随之停止），过点Q作QM⊥CD交BC于点M，连接PM．设动点运动的时间为t秒，请你探索：当时间t为何值时，△PMB中有一个角是直角．

Answer 1

分析：（1）由于抛物线经过原点，因此可以设解析式为y=ax²+bx，再把B、C两点的坐标代入抛物线即可求出二次函数的解析式．
（2）本题可以根据C、D两点的纵坐标相等，求出D点的横坐标，则C、D两点之差即为所求．
（3）由题意可知，△PMB有一个角是直角有两种情况①∠MPB=90°时，此时Q、M、P三点在一条直线上，根据四边形AOPQ为矩形，求出t；②∠PMB=90°时，延长QM交X轴于点N，△PNM∽△MNB，△CQM∽△BNM，求出t．

解答：解：（1）由题意知，O（0，0），C（1，2），B（5，0）．
设过O、C、B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx，
将C、B点坐标代入y=ax²+bx，得

a+b=2 25a+5b=0.

可得

a=- 1 2 b= 5 2 .

∴y=-

1

2

x2+

5

2

x．

（2）当y=2时，则-

1

2

x2+

5

2

x=2，
解得，x₁=1，x₂=4．
∴CD=4-1=3；

（3）延长QM交x轴于点N，有MN⊥OB．
①当点P与点N重合时，有
MP⊥OB，则四边形AOPQ是矩形．
∴AQ=OP即4-t=t
∴t=2．
②若MP⊥BM，则△PNM∽△MNB．
∴MN²=PN•BN．
∵CQ∥NB，
∴△CQM∽△BNM．
∴

MN

MQ

=

BN

CQ

，
即

MN

2-MN

=

5-(4-t)

4-1-t

，
则MN=

t+1

2

．
∵BN=1+t，PN=5-（1+t）-t=4-2t，
∴(

t+1

2

) 2=（4-2t）（t+1）．
解得，t₁=-1（舍去），t2=

5

3

，
综合①，②知，当t=2或t=

5

3

时，△PMB中有一个角是直角．

点评：本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、在坐标系中两点间的距离，相似三角形等知识．主要考查学生数形结合的数学思想方法．