Question

18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性质可知：AE=AC=3，DC=DE．则EB=2．设DC=ED=x，则BD=4-x．在Rt△DBE中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°，然后证明四边形ACDE为正方形，从而求得DB=1，然后证明DF∥AC，△BDF∽△BCA，依据相似三角形的性质可求得DF=$\frac{3}{4}$．

解答 解：如图1所示；点E与点F重合时．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE．则EB=2．
设DC=ED=x，则BD=4-x．
在Rt△DBE中，DE²+BE²=DB²，即x²+2²=（4-x）²．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴DE=$\frac{3}{2}$．
如图2所示：∠EDB=90时．
由翻折的性质可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°．
∵∠C=∠AED=∠CDE=90°，
∴四边形ACDE为矩形．
又∵AC=AE，
∴四边形ACE′为正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC-DC=4-3=1．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{DB}{CB}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{DF}{3}=\frac{1}{4}$．
解得：DF=$\frac{3}{4}$．
点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．
故答案为：$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、正方形的判定、相似三角形的性质和判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．