Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-4，3）、B（2，0）两点，对称轴为y轴，经过点C（0，-2）的直线l与x轴平行，P（m，n）是抛物线上的动点，O为坐标原点．
（1）求直线AB和抛物线的函数解析式；
（2）以A为圆心，AO为半径画⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）设PO=d₁，点P到直线l的距离为d₂，试探索d₁、d₂间的数量关系；
（4）D点在直线AB上，D点的横坐标为-2，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=-x+1；
由题意知：抛物线的对称轴为y轴，则抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点；
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x+2），
则有：3=a（-4-2）（-4+2），
解得：a=，
∴抛物线的解析式为：y=x²-1；

（2）∵A（-4，3），
∴OA==5；
∵A到直线l的距离为：3-（-2）=5；
∴⊙A的半径等于圆心A到直线l的距离，
即直线l与⊙A相切；

（3）d₁=d₂．
理由：∵P（m，n）是抛物线上的动点，
∴设P（x，x²-1），
∴PO=d₁===x²+1，点P到直线l的距离为d₂=x²-1-（-2）=x²+1，
∴d₁=d₂；

（4）过P作PM∥y轴，交直线l于M；
则P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∵n=m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
∴PO²=PM²，
即PO=PM；
∵D点的横坐标为-2，
∴D（-2，2），则OD的长为定值；
若△PDO的周长最小，则PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值为DM，
即当D、P、M三点共线时PD+PM=PO+PD=DM；
此时点P的横坐标为-2，代入抛物线的解析式可得y=1-1=0，
即P（-2，0）；
∴S_{四边形CODP}=S_△POD+S_△POC=×2×2+×2×2=4．
分析：（1）用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据抛物线的对称轴为y轴，可得抛物线经过（-4，3），（2，0），（-2，0）三点，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据A点坐标可求出半径OA的长，然后判断A到直线l的距离与半径OA的大小关系即可；
（3）首先设P（x，x²-1），即可求得d₁、d₂的长，继而可求得d₁、d₂间的数量关系；
（4）根据直线AB的解析式可求出D点的坐标，即可得到OD的长，由于OD的长为定值，若△POD的周长最小，那么PD+OP的长最小，可过P作y轴的平行线，交直线l于M；首先证PO=PM，此时PD+OP=PD+PM，而PD+PM≥DM，因此PD+PM最小时，应有PD+PM=DM，即D、P、M三点共线，由此可求得P点的坐标；又由S_{四边形CODP}=S_△POD+S_△POC，即可求得答案．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、两点间的距离公式、切线的判定以及图形面积的求解方法．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．