Question

已知反比例函数的图象与一次函数y₂=ax+b（a≠0）的图象交于点A（-4，1）和点B，直线y₂=ax+b分别交x轴、y轴于C、D两点，且tan∠OCD=．
（1）求这两个函数的关系式，并求出B点的坐标；
（2）观察图象，直接写出使得y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）把A（-4，1）代入得：1=，
解得：k=-4，
即反比例函数的关系式是y₁=-，
y₂=ax+b，
当x=0时，y=b，
当y=0时，x=-，
即OC=，OD=-b，
∵tan∠OCD===，
∴a=-，
∵把A（-4，1）代入一次函数y₂=ax+b得：1=-4a+b，
∴1=-4×（-）+b，
∴b=-1，
即一次函数的关系式是y₂=-x-1．
解得：，，
∵A（-4，1），
∴B的坐标是（2，-2）．

（2）使得y₁＜y₂成立的自变量x的取值范围是：x＜-4或0＜x＜2．
分析：（1）把A（-4，1）代入y₁=求出k，即可得出反比例函数的关系式；求出直线y₂=ax+b与x、y轴的交点，求出OD、OC，根据tan∠OCD==，求出a=-，把A（-4，1）代入一次函数y₂=ax+b得出1=-4a+b，求出b，即可得出一次函数的解析式；
（2）解方程组求出两函数的交点的横坐标是-4和2，结合图象即可得出答案．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数、反比例函数的解析式等知识点，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，题目比较好．