Question

3．∠ACB=∠ADC=90°，AC=3，CD=2．当AB的长为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$时，这两个直角三角形相似．

Answer 1

分析 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角边的对应需分情况讨论．

解答 解：∵AC=3，CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
（1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{AB}{3}$，
则AB=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$；
（2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有 $\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{AC}$，即：$\frac{3}{2}$=$\frac{AB}{3}$，
则AB=$\frac{9}{2}$．
故当AB的长为$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$时，这两个直角三角形相似．
故答案是：$\frac{9\sqrt{5}}{5}$或$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．