Question

已知一抛物线经过（0，0），（1，1）两点，且解析式的二次项系数为
（＞0）.
【小题1】当时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；
【小题2】已知点（0，1），若抛物线与射线相交于点，与轴相交于点（异于原点），当在什么范围内取值时，的值为常数？当在什么范围内取值时，的值为常数？
【小题3】若点（，）在抛物线上，则称点为抛物线的不动点.将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线上，请说明理由.

Answer 1

【小题1】设该抛物线的解析式为，
∵抛物线经过（0，0）、（1，1）两点，
∴，解得.
∴该抛物线的解析式为 ………………………………………1分
（Ⅰ）当时，该抛物线的解析式为  …………………………2分
.
该抛物线的顶点坐标为（1，1）            . ……………………………………3分
【小题2】∵点在轴上，∴点的纵坐标为0.
当时，有，解得，.
∵点异于原点，∴点的坐标为（，0）.∴ ………………4分
∵点在射线上，∴点的纵坐标为1.
当时，有，，
解得，.
点的坐标为（1，1）或（，1）           . ……………………………5分
当点的坐标为（1，1）时，与重合，此时，，.
与的值都是常数2.
当点的坐标为（，1）时，
若点在点右侧，此时＞1，.
∴，.
若点在点左侧，此时0＜＜1，.
∴，.
∴当0＜≤1时，的值是常数2.  ..………………………………6分
当≥1时，的值是常数2.     ……………………………………7分
【小题3】设平移后的抛物线的解析式为，
由不动点的定义，得方程：，           ………………8分
即.
∵平移后的抛物线只有一个不动点，∴此方程有两个相等的实数根.
∴判别式，              .…………………9分
有，.
∴顶点（，）在直线上.      …………………………………10分

解析