Question

5．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=66°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）由同弧所对的圆周角相等求得∠CAB=∠CDB=40°，然后根据平角是180°求得∠BPD=115°；最后在△BPD中依据三角形内角和定理求∠B即可；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3．根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知OE∥AD；又由O是直径AB的半径可以判定O是AB的中点，由此可以判定OE是△ABD的中位线；最后根据三角形的中位线定理计算AD的长度．

解答 解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°；
又∵∠APD=66°，
∴∠BPD=114°；
∴在△BPD中，
∴∠B=180°-∠CDB-∠BPD=26°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=4．
∵AB是直径，
∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；
∴OE∥AD；
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AD=2OE=8．

点评 本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的中位线定理、圆周角定理．解答（1）时，还可以利用外角定理来求∠B的度数．