Question

如图，关于x的二次函数y=x²-2mx-m-2的图象与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点（x₁＜0＜x₂），与y轴交于C点
（1）当m为何值时，AC=BC；
（2）当∠BAC=∠BCO时，求这个二次函数的表达式．

Answer 1

解：（1）要使AC=BC，则该抛物线的对称轴应是y轴，
则有，即m=0，
∴当m=0时，AC=BC．

（2）当∠BAC=∠BCO，有Rt△AOC∽Rt△COB，则，
即OC²=OA•OB，
由题意，知OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂
由根与系数关系，得x₁x₂=-m-2，
∴OA•OB=-x₁x₂=m+2
则|-m-2|²=m+2，
解，得m=-2或m=-1．
当m=-2时，二次函数为y=x²+4x，此时x₁=-4，x₂=0，不合题意，舍去．
当m=-1时，二次函数为y=x²+2x-1，此时x₁=-1-，x₂=-1+，符合题意．
∴当∠BAC=∠BCO时，这个二次函数的表达式为y=x²+2x-1．
分析：（1）先根据AC=BC得出抛物线的对称轴是y轴，再根据y轴上点的坐标横坐标为0即可求出m的值；
（2）当∠BAC=∠BCO，Rt△AOC∽Rt△COB，由相似三角形的对应边成比例可得OC²=OA•OB，由两点间的距离公式即可得到OC=|-m-2|，OA=|x₁|=-x₁，OB=|x₂|=x₂，再由根与系数关系可得到关于m的一元二次方程，求出m的值代入函数关系式，求出符合条件的x的值即可．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、两点间的距离公式、根与系数的关系，涉及面较广，难度较大．