Question

如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．
把A、B两点坐标代入上式，得
       解之，得
故抛物线解析式为，顶点为
（2）∵点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
，
∴y<0，即－y>0,－y表示点E到OA的距离．
∵OA是的对角线，
∴．
因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的
取值范围是1＜＜6．
根据题意，当S = 24时，即．
化简，得 解之，得
故所求的点E有两个，分别为E₁（3，－4），E₂（4，－4）．
点E₁（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；
点E₂（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．

解析