Question

使得m²+m+7是完全平方数的所有整数m的积是    ．

Answer 1

【答案】分析：将m²+m+7表示为k²的形式，然后转化可得出（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27，从而讨论可得出m的值，从而得到所有整数m的积．
解答：解：设m²+m+7=k²，
所以m²+m++=k²，
所以（m+^_）2+=k²，
所以 （m+^_）2-k²=-，
所以（m++k）（m+-k）=-，
所以（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27
因为k≥0（因为k²为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①2m+2k+1=27，2m-2k+1=-1，解得：m=6，k=7；
②2m+2k+1=9，2m-2k+1=-3，解得：m=1，k=3；
③2m+2k+1=3，2m-2k+1=-9，解得：m=-2，k=3；
④2m+2k+1=1，2m-2k+1=-27，解得：m=-7，k=7．
所以所有m的积为6×1×（-2）×（-7）=84．
故答案为：84．
点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是将m²+m+7表示为k²的形式，得到（2m+2k+1）（2m-2k+1）=-27，同时也要掌握讨论法的运用．