Question

1．如图，已知等边△ABC中，D为边AC上一点．
（1）以BD为边作等边△BDE，连接CE，求证：AD=CE；
（2）如果以BD为斜边作Rt△BDE，且∠BDE=30°，连接CE并延长，与AB的延长线交于F点，求证：AD=BF；
（3）若在（2）的条件的基础上，∠F=45°，CF=6，直接写出△AFC的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明AD=CE，只要证明△ABD≌△CBE即可．
（2）如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．首先证明△DBH是等边三角形，由（1）可知，△ABD≌△CBH，推出AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，推出BF∥CH，推出∠F=∠ECH，再证明△EBF≌△EHC，推出BF=CH，由此即可证明．
（3）如图3中，作CH⊥AF于H．在Rt△CFH中，由∠F=45°，∠CHF=90°，推出∠F=∠HCF=45°，推出HF=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=3$\sqrt{2}$，在Rt△ACH中，由∠AHC=90°，∠A=60°，推出∠ACH=30°，推出AH=CH•tan30°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{6}$，AF=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，根据S_△ACF=$\frac{1}{2}$•AF•CH计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，

∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠CBE}\\{BD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．

（2）证明：如图2中，倍长BE到H，连CH，DH．

∵BE=EH，DE⊥BH，
∴DB=DH，∠BDE=∠HDE=30°，
∴∠BDH=60°，
∴△DBH是等边三角形，
由（1）可知，△ABD≌△CBH，
∴AD=CH，∠A=∠HCB=∠ABC=60°，
∴BF∥CH，
∴∠F=∠ECH，
在△EBF和△EHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠CEH}\\{∠F=∠ECH}\\{BE=EH}\end{array}\right.$，
∴△EBF≌△EHC，
∴BF=CH，
∴AD=CE．

（3）如图3中，作CH⊥AF于H．

在Rt△CFH中，∵∠F=45°，∠CHF=90°，
∴∠F=∠HCF=45°，
∴HF=HC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，∠A=60°，
∴∠ACH=30°，
∴AH=CH•tan30°=3$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{6}$，
∴AF=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$•AF•CH=$\frac{1}{2}$•（3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）•3$\sqrt{2}$=9+3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30角度性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．