Question

如图，将矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若S_△ABE：S_△BFE=4：5，则tan∠BFE=

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：如图，首先证明

AE

BF

=

4

5

；设AE=4λ，得到BF=5λ；证明AB=

BE2-AE2

=3λ；BD=

AB2+AD2

=3

10

λ；证明EO=FO，此为解题的关键性结论；运用面积公式求出EF的长度；运用三角函数的定义即可解决问题．

解答：解：如图，连接BD、DF；过点E作EM⊥BC于点M；
则AB=EM；而S_△ABE：S_△BFE=4：5，
∴

1 2 AE•AB

1 2 BF•EM

=

4

5

，即

AE

BF

=

4

5

；
设AE=4λ，则BF=5λ；
由题意得：BE=DE，∠BEF=∠DEF；
∵DE∥BF，
∴∠DEF=∠BFE，∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF=5λ；由勾股定理得：
AB=

BE2-AE2

=3λ；BD=

AB2+AD2

=3

10

λ；
由题意得：BD⊥EF，BO=DO；而DE∥BF，
∴△DEO∽△BFO，
∴

EO

FO

=

DO

BO

=1，即EO=FO；
∵S平行四边形=BF•AB=

1

2

BD•EF，
∴5λ•3λ=

1

2

×3

10

λ•EF，
∴EF=

10

λ，tan∠BFE=

BO

OF

=

2BO

2OF

=

BD

EF

=3，
故答案为3．

点评：该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力、运算求解能力均提出了较高的要求．