Question

如图，矩形ABCD，延长BC到G，连接GD．作∠BGD的平分线交AB于E．若EG=DG，AD=AE．
（1）求证：GE=2BE；
（2）若EG=4，求梯形ABGD的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，连接DE，∵AD=AE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
设∠BGE=x，
∵GE是∠BGD的平分线，
∴∠BGE=∠DGE=x，
在Rt△BGE中，∠BEG=90°-x，
∵EG=DG，
∴∠DEG=（180°-x），
又∵∠AED+∠DEG+∠BEG=180°，
∴45°+（180°-x）+90°-x=180°，
解得x=30°，
即∠BGE=30°，
∴GE=2BE；

（2）解：∵GE是∠BGD的平分线，
∴∠CGD=∠BGE+∠DGE=30°+30°=60°，
∴CD=DGsin60°=4×=2，
在Rt△BGE中，BE=EG=×4=2，
BG=EGcos30°=4×=2，
∴AD=AE=AB-BE=2-2，
梯形ABGD的面积=（AD+BG）CD=（2-2+2）×2=（4-2）=12-2．
分析：（1）连接DE，根据矩形的性质可得△ADE是等腰直角三角形，所以，∠AED=45°，设∠BGE=x，根据角平分线的定义可得∠DGE=x，根据直角三角形两锐角互余求出∠BEG，根据等腰三角形两底角相等求出∠DEG，然后根据平角等于180°列式求解即可得到x=30°，再根据30°所对的直角边等于斜边的一半证明；
（2）先求出∠CGD=60°，然后解直角三角形求出CD的长度，根据矩形的对边相等求出AB的长度，在Rt△BGE中，求出BE、BG的长度，然后求出AE，即可得到AD，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
点评：本题考查了矩形的性质，解直角三角形，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，题目设计巧妙，难度较大，利用∠BGE的度数恰好30°求解是解题的关键．