Question

3．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，利用直径所对的圆周角是直角得两个直角三角形，再由角平分线得：∠ACD=∠DCB=45°，
由同弧所对的圆周角相等可知：△ADB是等腰直角三角形，利用勾股定理可以求出直角边AD=5$\sqrt{2}$，AC的长也是利用勾股定理列式求得；
（2）连接半径OC，证明垂直即可；利用直角三角形中一直角边是斜边的一半得：这条直角边所对的锐角为30°，依次求得∠COB、∠CEP、∠PCE的度数，最后求得∠OCP=90°，结论得出．

解答 解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=45°，
∴∠ABD=∠ACD=45°，∠DAB=∠DCB=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB=10，
∴AD=BD=$\frac{10}{\sqrt{2}}$=5$\sqrt{2}$，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
答：AC=5$\sqrt{3}$，AD=5$\sqrt{2}$；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB=10，BC=5，
∴∠BAC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ACD=45°，
∴∠OCD=45°-30°=15°，
∴∠CEP=∠COB+∠OCD=15°+60°=75°，
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠CEP=75°，
∴∠OCP=∠OCD+∠ECP=15°+75°=90°，
∴直线PC与⊙O相切．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；重点是相切，本题是常考题型，在判断直线和圆的位置关系时，首先要看直线与圆有几个交点，根据交点的个数来确定其位置关系，在证明直线和圆相切时有两种方法：①有半径，证明垂直，②有垂直，证半径；本题属于第①种情况．