Question

△ABC中，∠CAB=∠CBA=50°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBC=20°，求∠OCA的度数．

Answer 1

解：
作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，
∵∠CAB=∠CBA=50°，
∴AC=BC，
∴AD=BD，
∵∠CAB=∠CBA=50°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC=∠ACB=50°，∠OBC=20°，
∴∠CBP=∠OBC=20°=∠CAP，
∠PAO=∠CAB-∠CAP-∠OAB=50°-20°-10°=20°=∠CAP，
∠POA=∠OBA+∠OAB=10°+50°-20°=40°=∠ACD，
∵在△CAP和△OAP中，
，
∴△CAP≌△OAP，
∴AC=OA，
∴∠ACO=∠AOC，
∴∠OCA=（180°-∠CAO），=[180°-（∠CAB-∠OAB）=（180°-40°）=70°．
分析：作CD⊥AB于D，延长BO交CD于P，连接PA，求出∠PCA=∠POA，∠CAP=∠OAP，已知利用AAS可判定∠CAP≌△OAP，从而推出AC=AO，根据三角形内角和定理即可求得∠ACO的度数即可．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理的综合运用．