Question

在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，则DF=______．

Answer 1

解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠C
∴DF=BF
∴DE+DF=AB=AC；

（2）图②中：AC+DF=DE．
图③中：AC+DE=DF．

（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图③的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
故答案是：2或10．
分析：（1）证明四边形AFDE是平行四边形，且△DEC和△BDF是等腰三角形即可证得；
（2）与（1）的证明方法相同；
（3）根据（1）（2）中的结论直接求解．
点评：本题考查平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定，是一个基础题．