Question

2．如图，在△ABD中，O为AB的中点，C为DO延长线上一点，∠ACO=135°，∠ODB=45°，探究OD，OC，AC之间相等的数量关系．

Answer 1

分析 由条件∠ACO=135°，∠ODB=45°想到角度转移，而O点又是中点，于是想到中线倍长，即延长DO至E，使OE=OD，则△DBO≌△EAO，从而∠AEO=∠BDO=45°，进而得△AEC是等腰直角三角形，于是CE=2AC，而EC=OE-OC=OD-OC，结论显然．

解答 解：延长DO至E，使OE=OD，如图，

在△DBO和△EAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=EO}\\{∠DOB=∠EOA}\\{BO=AO}\end{array}\right.$
∴△DBO≌△EAO（SAS），
∴∠AEO=∠BDO=45°，
∵∠ACO=135°，
∴∠ACE=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$AC，
∵EC=OE-OC=OD-OC，
∴OD-OC=$\sqrt{2}$AC．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、补角的性质、等腰直角三角形的判定与性质，难度中等．中线倍长是初中几何常用辅助线手段，务必熟练掌握．