Question

19．如图，过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M作△ABC另外两边AB、BC所在的直线的垂线，垂足分别为D、E，AD=CE，作射线BM，
求证：（1）DM=ME；  （2）BM平分∠ABC．

Answer 1

分析 （1）根据线段的垂直平分线的性质得出MA=MC，再利用直角三角形的全等判定和性质证明即可；
（2）根据直角三角形的全等判定和性质证明即可．

解答 （1）证明：连接AM，MC，
 
∵M在AC的垂直平分线上，
∴MA=MC，
∵MD⊥AB，ME⊥BC，
∴∠ADM=90°，∠MEC=90°，
∴△AMD和△MEC为直角三角形，
在Rt△AMD和Rt△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=EC}\\{AM=MC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CME，
∴DM=ME；
（2）同理：△BMD≌△BME，
∴∠DBM=∠MBE，
∴BM平分∠ABC．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据线段的垂直平分线的性质得出MA=MC．