Question

如图，正△ABC中，∠ADE=60°，
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=2，CD=4，求AE的长．                                                                   

Answer 1

（1）证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠BDA+∠EDC=120°，
∴∠BAD=∠EDC，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：
∵△ABD∽△DCE，
∴AB：CD=BD：CE，
∵BD=2，CD=4，
∴6：4=2：CE，
∴CE=，
∴AE=AB-CE=．
分析：（1）由等边三角形的性质可得：∠B=∠C=60°，再证明∠BAD=∠EDC，从而证明：△ABD∽△DCE；
（2）利用（1）中的三角形相似，可得到关于CE，BD的比利式，继而求出CE的长，AE即可求．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，题目比较简单，是中考常见题型．