Question

已知反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，

3

m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是

1

2

，设Q点的纵坐标为n，求n²-2

3

n+9的值．

Answer 1

分析：（1）由于反比例函数y=

k

x

的图象经过点A（-

3

，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；
（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；
（3）把点P（m，

3

m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是

1

2

，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n²-2

3

n+9的值．

解答：解：（1）由题意得1=

k

- 3

，解得k=-

3

，
∴反比例函数的解析式为y=-

3

x

；

（2）过点A作x轴的垂线交x轴于点C．
在Rt△AOC中，OC=

3

，AC=1，
∴OA=

OC2+AC2

=2，∠AOC=30°，
∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
过点B作x轴的垂线交x轴于点D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=

3

，OD=

1

2

OB=1，
∴B点坐标为（-1，

3

），
将x=-1代入y=-

3

x

中，得y=

3

，
∴点B（-1，

3

）在反比例函数y=-

3

x

的图象上．

（3）由y=-

3

x

得xy=-

3

，
∵点P（m，

3

m+6）在反比例函数y=-

3

x

的图象上，其中m＜0，
∴m（

3

m+6）=-

3

，
∴m²+2

3

m+1=0，
∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．
∵△OQM的面积是

1

2

，
∴

1

2

OM•QM=

1

2

，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m²n²+2

3

mn²+n²=0，
∴n²-2

3

n=-1，
∴n²-2

3

n+9=8．

点评：本题综合考查了运用待定系数法求反比例函数的解析式，旋转的性质，三角函数的定义，求代数式的值等知识，尤其是在最后一问中，没有必要求出n的具体值，而是将mn=-1作为一个整体代入，有一定的技巧性，使计算简便．