Question

5．如图，FE⊥AB于点E，AC⊥BF于点C，连结AF，EC，点M，N分别为AF，EC的中点，连结ME，MC．
（1）求证：ME=MC．
（2）连结MN，若MN=8，EC=12，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据FE⊥AB于点E，AC⊥BF于点C可得△AEF和△ACF是直角三角形，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得结论；
（2）首先连接MN，根据等腰三角形的性质可得MN⊥EC，再利用勾股定理计算出MC的长，然后再计算AF长即可．

解答 （1）证明：∵FE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∵M为AF中点，
∴EM=$\frac{1}{2}$AF，
∵AC⊥BF，
∴∠ACF=90°，
∴CM=$\frac{1}{2}$AF，
∴EM=CM；

（2）解：∵N为EC中点，EM=CM，
∴MN⊥EC，CN=$\frac{1}{2}$EC，
∵EC=12，
∴CN=6，
∵MN=8，
∴MC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴AF=20．

点评 此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形性质和勾股定理的应用，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．