Question

14．如图，四边形ABCD为矩形，点E在AD边上，DE=4AE，EF∥AC，交CD边于点F，连接BE，若∠DEF=2∠ABE，BE=2$\sqrt{3}$，则线段EF的长为$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 作BG⊥EF、延长EF交BC延长线于点H，设AE=x，则DE=4x、AD=BC=5x，证?AEHC得AE=CH=x、证△DEF∽△CHF得$\frac{DF}{CF}$=$\frac{DE}{CH}$=$\frac{4x}{x}$=4，即DF=4CF，即可设CF=a，则DF=4a，再证△BGC∽△FCH后，设∠ABE=α，可得∠DEF=∠H=2α，由∠EBG=90°-∠ABE-∠HBG=90°-α-（90°-2α）=α=∠ABE结合∠BAE=∠BGE=90°、BE=BE，可证△ABE≌△GBE得AB=BG=5a，由$\frac{BG}{BH}=\frac{FC}{FH}$得FH=$\frac{6x}{5}$，根据勾股定理得FC=$\sqrt{F{H}^{2}-H{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，即a=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，可知AB=5a=$\sqrt{11}$x，在Rt△ABE中由AB²+AE²=BE²得x=1，从而可得DF、DE的长，最后利用勾股定理可得答案．

解答 解：如图，过点B作BG⊥EF于点G，延长EF交BC延长线于点H，

设AE=x，则DE=4x，AD=BC=5x，
∵AB∥CD，EF∥AC，
∴四边形AEHC是平行四边形，
∴AE=CH=x，
∵DE∥CH，
∴△DEF∽△CHF，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{DE}{CH}$=$\frac{4x}{x}$=4，即DF=4CF，
设CF=a，则DF=4a，
又∵∠BGH=∠FCH=90°，∠BHG=∠FHC，
∴△BGC∽△FCH，
设∠ABE=α，则∠DEF=∠H=2α，
∴∠HBG=90°-∠H=90°-2α，
∴∠EBG=90°-∠ABE-∠HBG=90°-α-（90°-2α）=α=∠ABE，
∵∠BAE=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AB=BG=5a，
∵$\frac{BG}{BH}=\frac{FC}{FH}$，即$\frac{5a}{6x}=\frac{a}{FH}$，
∴FH=$\frac{6x}{5}$，
则FC=$\sqrt{F{H}^{2}-H{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6x}{5}）^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，即a=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$
∴AB=5a=$\sqrt{11}$x，
在Rt△ABE中，由AB²+AE²=BE²得11x²+x²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=1或x=-1（舍），
则DF=4a=$\frac{4\sqrt{11}}{5}$x=$\frac{4\sqrt{11}}{5}$，DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，根据题中线段的比值及角度的关系转化为相似问题和全等问题求解是解题的切入点．