Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．
（1）求∠C的度数；
（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；
（3）若CD=6，BC=8，S_{四边形ABCD}=49，求AB的值．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC与∠ADC互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠A=90°，
∴∠C=360°-90°-180°=90°；

（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．
则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．
过点A作AF∥BC交CD的延长线于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．
∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．
∴AE=AF．∴四边形AECF是正方形；

（3）解法1：连接BD，
∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD==10
又∵S_{四边形ABCD}=49，∴S_△ABD=49-24=25．
过点A作AM⊥BD垂足为M，
∴S_△ABD=×BD×AM=25．∴AM=5．
又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．
∴=．
设BM=x，则MD=10-x，
∴=．解得x=5．
∴AB=5．
解法2：连接BD，∠A=90°．
设AB=x，AD=y，则x²+y²=10²，①
∵xy=25，∴xy=50．②
由①，②得：（x-y）²=0．
∴x=y．
2x²=100．
∴x=5．
分析：（1）根据多边形的内角和公式可得到∠C的度数为90°；
（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．可以根据已知利用AAS来判定△ABE≌△ADF从而得到AE=AF，即得到四边形AECF是正方形；
（3）连接BD，根据勾股定理求得BD的长，根据已知得到△ABD的面积，从而可求得AM的长，再根据相似三角形的判定得到△ABM∽△ABD．根据相似三角形的对应边成比例可得到BM的长，再根据勾股定理即可求得AB的长．
点评：此题考查了学生对正方形的判定、相似三角形的判定、全等三角形的判定等知识点的综合运用能力．