Question

16．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx（k≠0）经过点（a，$\sqrt{3}$a）（a＞0），线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上（点B、C均与原点O不重合）滑动，且BC=2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y=kx，交点为P．经探究，在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值$\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可先求得k的值，可得∠BOC=60°，再由条件可知O、B、P、C四点共圆，OP为直径，设圆心为D，分别连接CD和BD，过D作DE⊥BC于点E，由垂径定理可求得BE，用可知∠BDE=60°，在Rt△BDE中可求得BD的长，从而可求得直径．

解答 解：
∵直线y=kx（k≠0）经过点（a，$\sqrt{3}$a）（a＞0），
∴$\sqrt{3}$a=ka，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴∠BOC=60°，
又由题意可知∠PCO=∠PBO=90°，
∴∠PCO+∠PBO=180°，
∴O、B、P、C四点共圆，OP为直径，
如图，设圆心为D，分别连接CD和BD，过D作DE⊥BC于点E，
则BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵∠BDC=2∠BOC=120°，
∴∠BDE=60°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD²=DE²+BE²，
即BD²=$\frac{1}{4}$BD²+1，
解得BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OP=2BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查圆的性质及解直角三角形，由条件得出OP为圆的直径是解题的关键．