Question

如图，已知在△ABC中，O是边BC的中点，E是线段AB延长线一点，过点C作CD∥BE，交线段EO的延长线于点D，连接BD，CE．
（1）求证：CD=BE；
（2）如果∠ABD=2∠BED，求证：四边形BECD是菱形．

Answer 1

分析：（1）可通过全等三角形来证明简单的线段相等，△COD和△BOE中，已知了CO=BO，∠COD=∠BOE，CD∥BE，因此不难得出两三角形全等，进而可得出CD=BE．
（2）需先证明四边形AFCE是平行四边形，那么邻边相等的平行四边形是菱形．

解答：证明：（1）∵CD∥BE，
∴∠CDE=∠DEB．…（1分）
∵O是边BC的中点，
∴CO=BO．…（1分）
在△COD和△BOE中，

∠CDO=∠BEO ∠COD=∠BOE CO=BO

∴△COD≌△BOE（A．A．S）．
∴CD=BE．…（2分）

（2）∵CD∥BE，CD=BE，
∴四边形BECD是平行四边形．…（1分）
∵∠ABD=2∠BED，且∠ABD=∠BED+∠BDE，
∴∠BED=∠BDE．
∴BD=BE．…（2分）
∴四边形BECD是菱形．…（1分）

点评：本题考查菱形的判定及全等三角形的判定与性质，注意掌握两条线段在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明．