Question

已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90゜，以BC为直径的⊙O交AB于D．
（1）如图1，求证：AD=BD．
（2）如图2，弦CE交BD于M，若S_△ABC=3S_△BCM，求

BD

CE

的值．

Answer 1

分析：（1）首先连接OD，由BC为⊙O的直径，可得CD⊥AB，又由△ABC中，AC=BC，由三线合一，可得AD=BD；
（2）首先过点M作MN⊥BC于N，连接BE，易证得△CMN∽△CBE，设圆的半径为x，然后由勾股定理求得AB的长，又由△BMN∽△BAC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE与BD的长，则可求得

BD

CE

的值．

解答：（1）证明：连接OD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC中，AC=BC，
∴AD=BD．

（2）解：过点M作MN⊥BC于N，连接BE．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB=∠CNM=90°，
∵∠BCE为公共角，
∴△CMN∽△CBE，
∴

CM

BC

=

CN

CE

=

MN

BE

，
设圆的半径为x，
则BC=AC=2x，AB=

AC2+BC2

=2

2

x，
∵S_△ABC=3S_△BCM，
∴MN=

1

3

AC，
∴MN=

2

3

x，
∵△BMN∽△BAC，
∴

BN

BC

=

MN

AC

=

1

3

，
∴

CN

BC

=

2

3

，
∴CN=

4

3

x，
在Rt△CMN中，CM=

CN2+MN2

=

2 5

3

x，
∴

CM

BC

=

CN

CE

，
∴CE=

BC•CN

CM

=

4 5

5

x，
∵BD=

1

2

AB=

2

x，
∴

BD

CE

=

2 x

4 5 5 x

=

10

4

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．