Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（-1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=$\frac{4m}{x}$（m＞0）经过A点，双曲线y=-$\frac{m}{x}$经过C点，则Rt△ABC的面积为$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲线y=$\frac{4m}{x}$（m＞0）上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解．

解答 解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，
∵A点的横坐标是2，且在双曲线y═$\frac{4m}{x}$（m＞0）上，
∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠FCB，
∴△ABE∽△BCF，
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{BF}{AE}$=$\frac{AB}{BC}$=3，
∴CF=1，BF=$\frac{2m}{3}$，
∴C（-1-$\frac{2m}{3}$，1），
∵双曲线y=-$\frac{m}{x}$经过C点，
∴-1-$\frac{2m}{3}$=-m，
∴m=3，
∴A（2，6），C（-3，1），
∴AE=6，CF=1，EF=5，BF=3-1=2，BE=1+2=3，
∴Rt△ABC的面积=S_梯形ACFE-S_△BCF-S_△ABE=$\frac{1}{2}$（6+1）×5-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×6=$\frac{15}{2}$．
故答案为：$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．