Question

17．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．

解答 解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（$\frac{a}{4}$，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴$\frac{ab}{4}$=k，∴E（a，$\frac{k}{a}$），
∵S_△ODE=S_矩形OCBA-S_△AOD-S_△OCE-S_△BDE=ab-$\frac{1}{2}$•$\frac{ab}{4}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{ab}{4}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{3a}{4}$•（b-$\frac{k}{a}$）=9，
∴ab-$\frac{ab}{4}$-$\frac{3ab}{8}$+$\frac{3k}{8}$=9，
∴ab+k=24，
∵$\frac{ab}{4}$=k，
∴k=$\frac{24}{5}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 此题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．