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请阅读下列材料:问题:已知方程x2+x-3=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍
解:设所求方程的根为y,则y=2x,
所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得
(
y
2
)2+
y
2
-3=0

化简,得y2+2y-12=0故所求方程为y2+2y-12=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
(1)已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的3倍,则所求方程为
y2+3y-9=0
y2+3y-9=0

(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数;
(3)已知关于x的方程x2-mx+n=0有两个实数根,求一个方程,使它的根分别是已知方程根的平方.
分析:根据所给的材料,设所求方程的根为y,再表示出x,代入原方程,整理即可得出所求的方程.
解答:解:(1)设所求方程的根为y,则y=3x,
所以x=
y
3

把x=
y
3
代入已知方程,得
(
y
3
)
2
+
y
3
-1=0

化简,得y2+3y-9=0,
故所求方程为y2+3y-9=0.
故答案是:y2+3y-9=0;

(2)设所求方程的根为y,则y=
1
x
(x≠0),于是x=
1
y
(y≠0)
把x=
1
y
代入方程ax2+bx+c=0,得a(
1
y
2+b•
1
y
+c=0
去分母,得a+by+cy2=0.
若c=0,有ax2+bx=0,于是方程ax2+bx+c=0有一个根为0,不符合题意,
∴c≠0,
故所求方程为cy2+by+a=0(c≠0);

(3)设所求方程的根为y,则y=x2
所以x=±
y

①当x=
y
时,
把x=
y
代入已知方程,得
(
y
)
2
-m
y
+n=0,即y-m
y
+n=0;
②当x=-
y
时,
把x=-
y
代入已知方程,得
(
y
)
2
+m
y
+n=0,即y+m
y
+n=0.
点评:本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式.本题是一道材料题,是一种新型问题,解题时,要提取材料中的关键性信息.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

请阅读下列材料:
问题:解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0.
明明的做法是:将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.
(1)当y=1时,x2-1=1,解得x=±
2

(2)当y=4时,x2-1=4,解得x=±
5

综合(1)(2),可得原方程的解为x1=
2
,  x2=-
2
,  x3=
5
,  x4=-
5

请你参考明明同学的思路,解方程x4-x2-6=0.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

请阅读下列材料:
问题:已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.
解:设所求方程的根为y,则y=2x所以x=
y
2

把x=
y
2
代入已知方程,得(
y
2
2+
y
2
-1=0
化简,得y2+2y-4=0
故所求方程为y2+2y-4=0.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读村料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别为己知方程根的相反数,则所求方程为:
 

(2)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是己知方程根的倒数.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•贵阳模拟)请阅读下列材料:
问题:如图1,圆柱的底面半径为1dm,BC是底面直径,圆柱高AB为5dm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线:
路线1:高线AB+底面直径BC,如图1所示.路线2:侧面展开图中的线段AC,如图2所示.(结果保留π)

(1)设路线1的长度为L1,则L12=
49
49
.设路线2的长度为L2,则L22=
25+π2
25+π2
.所以选择路线
2
2
(填1或2)较短.
(2)小明把条件改成:“圆柱的底面半径为5dm,高AB为1dm”继续按前面的路线进行计算.此时,路线1:L12=
121
121
.路线2:L22=
1+25π2
1+25π2
.所以选择路线
1
1
(填1或2)较短.
(3)请你帮小明继续研究:当圆柱的底面半径为2dm,高为hdm时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的路线最短.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

请阅读下列材料:
问题:正方形ABCD中,M,N分别是直线CB、DC上的动点,∠MAN=45°,当∠MAN交边CB、DC于点M、N(如图①)时,线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系?
小聪同学的思路是:延长CB至E使BE=DN,并连接AE,构造全等三角形经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:
(1)直接写出上面问题中,线段BM,DN和MN之间的数量关系;
(2)当∠MAN分别交边CB,DC的延长线于点M/N时(如图②),线段BM,DN和MN之间的又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明;
(3)在图①中,若正方形的边长为16cm,DN=4cm,请利用(1)中的结论,试求MN的长.

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