Question

请阅读下列材料：问题：已知方程x²+x-3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍
解：设所求方程的根为y，则y=2x，
所以x=

y

2

．
把x=

y

2

代入已知方程，得
(

y

2

)2+

y

2

-3=0
化简，得y²+2y-12=0故所求方程为y²+2y-12=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程x²+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为

y²+3y-9=0

（2）已知关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于x的方程x²-mx+n=0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方．

Answer 1

分析：根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．

解答：解：（1）设所求方程的根为y，则y=3x，
所以x=

y

3

．
把x=

y

3

代入已知方程，得
(

y

3

)2+

y

3

-1=0
化简，得y²+3y-9=0，
故所求方程为y²+3y-9=0．
故答案是：y²+3y-9=0；

（2）设所求方程的根为y，则y=

1

x

（x≠0），于是x=

1

y

（y≠0）
把x=

1

y

代入方程ax²+bx+c=0，得a（

1

y

）²+b•

1

y

+c=0
去分母，得a+by+cy²=0．
若c=0，有ax²+bx=0，于是方程ax²+bx+c=0有一个根为0，不符合题意，
∴c≠0，
故所求方程为cy²+by+a=0（c≠0）；

（3）设所求方程的根为y，则y=x²，
所以x=±

y

．
①当x=

y

时，
把x=

y

代入已知方程，得
(

y

)2-m

y

+n=0，即y-m

y

+n=0；
②当x=-

y

时，
把x=-

y

代入已知方程，得
(

y

)2+m

y

+n=0，即y+m

y

+n=0．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息．