Question

已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，A是弧BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E．
（1）求证：AB•DA=CD•BE；
（2）若点E在CB延长线上运动，点A在弧BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）

Answer 1

分析：（1）点A是弧BD的中点，根据弦切角定理和圆周角定理知∠1=∠3，由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠D，于是有△ABE∽△CDA?

AB

CD

=

BE

DA

?AB•DA=CD•BE；
（2）要使结论仍然成立，则应有△ABE∽△CDA，故可使

BF

=

DA

．当

BF

=

DA

时有∠EAB=∠ACD，而由圆内接四边形的性质知∠ABE=∠ADC，故有△ABE∽△CDA，得

AB

CD

=

BE

DA

?AB•DA=CD•BE

解答：（1）证明：连接AC
∵A是

BD

的中点，
∴

AB

=

AD

．
∵EA切⊙O于点A，点C在⊙O上，
∴∠1=∠3=∠2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴

AB

CD

=

BE

DA

∴AB•DA=CD•BE．

（2）解：
如图，具备条件

BF

=

DA

（BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD等），使原结论成立

点评：本题利用了弦切角定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质求解．