Question

如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．
（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；
（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．

Answer 1

解：（1）当然是GH不变．
延长HG交OP于点E，
∵G是△OPH的重心，
∴GH=EH，
∵PO是半径，它是直角三角形OPH的斜边，它的中线等于它的一半；
∴EH=OP
∴GH=（OP）=（×6）=2；

（2）延长PG交OA于C，则y=×PC．
我们令OC=a=CH，
在Rt△PHC中，PC==，
则y=×；
在Rt△PHO中，有OP²=x²+（2a）²=6²=36，
则a²=9-，
将其代入y=×得y=×=（0＜x＜6）；

（3）如果PG=GH，则y=GH=2，
解方程：x=0，
那GP不等于GH，则不合意义；
如果，PH=GH=2则可以解得：x=2；
如果，PH=PG，则x=y代入可以求得：x=，
综合上述线段PH的长是或2．
分析：（1）由题意可知：重心是三角形中线交点，它把中线分为1：2的比例，如果中线长度不变，题中的三线段长度也不变．在直角三角形OHP中PO是直角三角形OPH的斜边，也是半径是保持不变的所以线段GH保持不变；则根据直角三角形中斜边的中线是斜边的一半可以求得OP中线的长度，进而求得GH的长度；
（2）延长PG交OA于C，则y=×PC；分别再直角三角形OPh和直角三角形PHC中运用两次勾股定理即可以求出y关于x的函数解析式；
（3）分别讨论GH=PG，GH=PH，PH=PG这三种情况，根据（2）中的解析式可以分别求得x的值．
点评：本题考查了重心的概念以及直角三角形与等腰三角形的性质．综合性比较强，有一定的难度．