Question

设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）²=509（4a+511b）（1）
求a，b的值．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根,数的整除性

专题：转化思想

分析：首先将9（2a+b）²=509（4a+511b）变形为

4a+511b

509

=

4a+511b

509

，此时假设m=

6a+3b

509

，n=

4a+511b

509

，则可得到b=

509m-6a

3

=

509n-4a

511

与n=m²．因而可转化为关于m的一元二次方程3m²-511m+6a=0．利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值．

解答：解：①式即(

6a+3b

509

)2=

4a+511b

509

，
故设m=

6a+3b

509

，n=

4a+511b

509

，则b=

509m-6a

3

=

509n-4a

511

②
∴3n-511m+6a=0，又n=m²，所以3m²-511m+6a=0                  ③
由①式可知，（2a+b）²能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△=511²-72a为完全平方数． （10分）
不妨设△=511²-72a=t²（t为自然数），则72a=511²-t²=（511+t）（511-t）．
由于511+t和511-t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：
①

511+t=36a 511-t=2

两式相加，得36a+2=1022，没有整数解．
②

511+t=18a 511-t=4

两式相加，得18a+4=1022，没有整数解．
③

511+t=12a 511-t=6

两式相加，得12a+6=1022，没有整数解．
④

511+t=6a 511-t=12

两式相加，得6a+12=1022，没有整数解．
⑤

511+t=4a 511-t=18

两式相加，得4a+18=1022，解得a=251．
⑥

511+t=2a 511-t=36

两式相加，得2a+36=1022，解得a=493，而493=17×29不是质数，故舍去．
综合可知a=251． （20分）
此时方程③的解为m=3或m=

502

3

（舍去）．
把a=251，m=3代入②式，得b=

509×3-6×251

3

=7．
答：a=251，b=7．

点评：本题考查一元二次方程整数根与有理根、数的整除性问题．解决本题的关键是将问题转化为一元二次方程来解决．