Question

抛物线的顶点在直线上，过点F的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥轴于点A，NB⊥轴于点B．

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含的代数式表示），再求的值；

（2）(3分)设点N的横坐标为，试用含的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；

（3）(3分)若射线NM交轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．

Answer 1

（1）…1分

∴顶点坐标为(－2 , )…………………2分

∵顶点在直线上，

∴－2+3=，得=2…………………3分

（2）∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为…………………………4分

即点N(,)

过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=+2，NC=NB-CB=,∴＝＝=………………………………………………5分

而=＝

∴＝，NF=NB………………………………………………………………………6分

（3）连结AF、BF

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥轴，NB⊥轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°,

∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90°

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA

又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴，= ……………7分

过点F作FG⊥轴于点G,在Rt△PFG中，PG==，∴PO=PG+GO=，

∴P(－ , 0)

设直线PF：，把点F（－2 , 2）、点P(－ , 0)代入解得=，=，∴直线PF：……………………………………………………8分

解方程，得=－3或=2（不合题意，舍去）

当=－3时，=，∴M（－3 ,）……………………………9分