Question

20．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD=30°，∠C=45°，BD=1．
（1）求AC的长．
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据直角三角形的性质求出AB的长，再由勾股定理求出AD的长，由等腰直角三角形的性质即可得出AD=CD，再由勾股定理可得出结论；
（2）根据三角形的面积公式可得出结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAD=30°，BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴AD=$\sqrt{{AB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵∠C=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD=$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{AD}^{2}+{CD}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+{（\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{6}$；

（2）∵BD=1，由（1）知，AD=CD=$\sqrt{3}$，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$（BD+CD）•AD=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{3}$）•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$．

点评 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．