Question

3．曾好妈妈在淘宝网开店，经销一种文具，每件成本是4元，每件售价6元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，曾好妈妈决定拿出一笔资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，他们的关系如下表：

x（万元）	0	1	2	…
y	1	1.5	1.8	…

（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；（销售额=售价×销售量）
（3）如果投入的广告费为1-5万元，问广告费在什么范围内，曾好妈妈所获年利润随广告费的增加而增加？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以设出y与x的函数关系式，根据表格中的数据可以求得y与x的函数关系式中的各个系数，从而可以求得y与x的函数关系式；
（2）根据题意可以写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式；
（3）将第二问中关系式化为顶点式，即可得到如果投入的广告费为1-5万元，广告费在什么范围内，曾好妈妈所获年利润随广告费的增加而增加．

解答 解：（1）设y与x的函数关系式是y=ax²+bx+c，
由表格可得，
$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a+b+c=1.5}\\{4a+2b+c=1.8}\end{array}\right.$
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.1}\\{b=0.6}\\{c=1}\end{array}\right.$
即y与x的函数关系式是y=-0.1x²+0.6x+1；
（2）由题意可得，
S=（6-2）×10y-x=4×10（-0.1x²+0.6x+1）-x=-4x²+23x+40，
即年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式是S=-4x²+23x+40；
（3）S=-4x²+23x+40=$-4（x-\frac{23}{8}）^{2}+\frac{1169}{11}$，
∵-4＜0，
∴函数S在x≤$\frac{23}{8}$时，S随x的增大而增大；函数S在x≥$\frac{23}{8}$时，S随x的增大而减小；
∵1≤x≤5，
∴在1≤x≤$\frac{23}{8}$时，S随着x的增大而增大，
即投入的广告费为1-5万元，广告费在1≤x≤$\frac{23}{8}$范围内，曾好妈妈所获年利润随广告费的增加而增加．

点评 本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的函数解析式，会求函数的解析式，并将函数解析可以化为顶点式，会求函数的最值，明确函数的增减性．