Question

（2013•历下区二模）（1）如图1，AB∥CD，AB=CD，直线EF分别交AB、CD 于B、C，且BF=EC．求证：∠A=∠D．
（2）如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．①求∠BDC的度数；②求AB的长．

Answer 1

分析：（1）求出BE=CF，∠ABC=∠DCF，根据SAS证出△ABE≌△DCF即可；
（2）求出∠DBC，根据三角形内角和定理求出∠BDC即可；过D作DE⊥BC于E，过B作BF⊥DC于F，求出CF、BF、DF，根据三角形面积公式求出DE，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠DCB，
∵EC=BF，
∴EC+BC=BF+BC，
∴EB=CF，
∵在△ABE和△DCF中

AB=DC ∠ABE=∠DCF BE=CF

∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴∠A=∠D．

（2）解：∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠ABC=90°，
∵，∠ABD=15°，
∴∠DBC=75°，
又∵∠C=60°，
∴∠BDC=45°．

过D作DE⊥BC于E，过B作BF⊥DC于F，
∵∠C=60°，
∴∠FBC=30°，
∴CF=

1

2

BC=

1

2

×2=1，
∵∠DBC=75°，
∴∠DBF=45°，
∴∠BDF=45°=∠DBF，
∴BF=DF，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=

22-12

=

3

，
∴DF=

3

，DC=1+

3

，
在△DBC中，由三角形的面积公式得：

1

2

BC×DE=

1

2

DC×BF，

1

2

×2×DE=

1

2

×（1+

3

）×

3

，
DE=

3 +3

2

，
∵∠ABC=90°，DE⊥BC，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=

3 +3

2

．

点评：本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的面积公式，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．