Question

已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，O_l、O₂分别为△ACD、△BCD的内心，则O_lO₂=________．

Answer 1

分析：由题意得，△ACD∽△BCD，△ABC∽△O₁O₂D，设点C的坐标为（0，0），则点B的坐标（3，0），点A的坐标为（0，4），计算出点D（1.92，1.44）由于内心到边的距离都相等，内心O₂的坐标为（1.8，0.6），则可以计算出O₂D的长度，再将AB=5代入，则计算出O₁O₂的长度．
解答：∵△ACD∽△BCD，
∴=，（内心到对应点的长度也成比例）
∴△ABC∽△O₁O₂D（都是直角三角形）
∴=，
设点C的坐标为（0，0），则点B的坐标（3，0），点A的坐标为（0，4），
则点D（1.92，1.44），
∵内心到边的距离都相等，∴内心O₂的坐标为（1.8，0.6），
则O₂D=，再将AB=5代入=，得O₁O₂=，
故答案为．
点评：本题考查了三角形的内切圆和相似三角形的判定和性质，是综合题，难度较大．